Obsah
V tejto publikácii sa budeme zaoberať definíciou hodnosti matice, ako aj metódami, ktorými ju možno nájsť. Budeme tiež analyzovať príklady, aby sme demonštrovali aplikáciu teórie v praxi.
Určenie hodnosti matice
Hodnosť matice je poradie jeho systému riadkov alebo stĺpcov. Každá matica má svoje poradie riadkov a stĺpcov, ktoré sú si navzájom rovné.
Poradie riadkového systému je maximálny počet lineárne nezávislých riadkov. Hodnosť stĺpcového systému sa určuje podobným spôsobom.
Poznámky:
- Hodnosť nulovej matice (označená symbolom „θ“) akejkoľvek veľkosti je nula.
- Poradie ľubovoľného nenulového riadkového vektora alebo stĺpcového vektora sa rovná jednej.
- Ak matica akejkoľvek veľkosti obsahuje aspoň jeden prvok, ktorý sa nerovná nule, potom jej poradie nie je menšie ako jedna.
- Hodnosť matice nie je väčšia ako jej minimálny rozmer.
- Elementárne transformácie vykonané na matici nemenia jej poradie.
Nájdenie hodnosti matice
Metóda Fringing Minor
Hodnosť matice sa rovná maximálnemu rádu nenula.
Algoritmus je nasledovný: nájsť neplnoletých od najnižších rád po najvyššie. Ak drobný nporadie sa nerovná nule a všetky nasledujúce (n + 1) sa rovnajú 0, takže poradie matice je n.
Príklad
Aby to bolo jasnejšie, uveďme si praktický príklad a nájdime hodnosť matice A nižšie pomocou metódy ohraničenia maloletých.
Riešenie
Máme do činenia s maticou 4 × 4, preto jej poradie nemôže byť vyššie ako 4. V matici sú tiež nenulové prvky, čo znamená, že jej poradie nie je menšie ako jedna. Takže začnime:
1. Začnite kontrolovať maloletí druhého rádu. Na začiatok vezmeme dva riadky prvého a druhého stĺpca.
Minor sa rovná nule.
Preto prejdeme na ďalšiu menšiu (prvý stĺpec zostáva a namiesto druhého vezmeme tretí).
Maloletý je 54≠0, takže poradie matice je aspoň dva.
Poznámka: Ak sa táto vedľajšia hodnota rovná nule, ďalej by sme skontrolovali nasledujúce kombinácie:
V prípade potreby môže enumerácia pokračovať rovnakým spôsobom s reťazcami:
- 1 a 3;
- 1 a 4;
- 2 a 3;
- 2 a 4;
- 3 a 4.
Ak by sa všetci maloletí druhého poriadku rovnali nule, potom by sa poradie matice rovnalo jednej.
2. Takmer okamžite sa nám podarilo nájsť neplnoletú osobu, ktorá nám vyhovuje. Takže poďme ďalej maloletí tretieho rádu.
K nájdenému mollu druhého rádu, ktorý dal nenulový výsledok, pridáme jeden riadok a jeden zo stĺpcov zvýraznených zelenou farbou (začíname od druhého).
Maloletý sa ukázal ako nula.
Preto zmeníme druhý stĺpec na štvrtý. A na druhý pokus sa nám podarí nájsť maloletého, ktorý sa nerovná nule, čo znamená, že poradie matice nemôže byť menšie ako 3.
Poznámka: ak by bol výsledok opäť nula, namiesto druhého riadku by sme posunuli štvrtý ďalej a pokračovali v hľadaní „dobrého“ moll.
3. Teraz zostáva určiť maloletí štvrtého rádu na základe toho, čo sa zistilo skôr. V tomto prípade ide o ten, ktorý sa zhoduje s determinantom matice.
Minor sa rovná 144≠0. To znamená, že hodnosť matice A rovná sa 4.
Redukcia matice na stupňovitý tvar
Poradie krokovej matice sa rovná počtu jej nenulových riadkov. To znamená, že všetko, čo musíme urobiť, je uviesť maticu do vhodného tvaru, napríklad pomocou , ktoré, ako sme spomenuli vyššie, nezmenia jej poradie.
Príklad
Nájdite hodnosť matice B nižšie. Neberieme príliš zložitý príklad, pretože naším hlavným cieľom je jednoducho demonštrovať aplikáciu metódy v praxi.
Riešenie
1. Najprv odpočítajte zdvojené prvé od druhého riadku.
2. Teraz odpočítajte prvý riadok od tretieho radu, vynásobte ho štyrmi.
Dostali sme tak stupňovitú maticu, v ktorej je počet nenulových riadkov rovný dvom, teda aj jej poradie je rovné 2.