V tejto publikácii sa budeme zaoberať jednou z hlavných teorém euklidovskej geometrie – Stewartovou vetou, ktorá dostala takýto názov na počesť anglického matematika M. Stewarta, ktorý to dokázal. Budeme tiež podrobne analyzovať príklad riešenia problému na konsolidáciu prezentovaného materiálu.
Vyhlásenie vety
Dan trojuholník ABC. Po jeho boku AC dobrá poznámka D, ktorá je spojená s vrchnou časťou B. Akceptujeme nasledujúci zápis:
- AB = a
- BC = b
- BD = p
- AD = x
- DC = a
Pre tento trojuholník platí rovnosť:
Aplikácia vety
Zo Stewartovej vety možno odvodiť vzorce na nájdenie mediánov a osi trojuholníka:
1. Dĺžka osi
Nechať lc je stred nakreslený na stranu c, ktorý je rozdelený na segmenty x и y. Zoberme si ďalšie dve strany trojuholníka ako a и b… V tomto prípade:
2. Stredná dĺžka
Nechať mc je medián otočený nadol na stranu c. Ostatné dve strany trojuholníka označme ako a и b… Potom:
Príklad problému
Daný trojuholník ABC. Na strane AC rovná 9 cm, dobrá poznámka D, ktorý delí stranu tak, že AD dvakrát tak dlho DC. Dĺžka segmentu spájajúceho vrchol B a bod D, má 5 cm. V tomto prípade vytvorený trojuholník ABD je rovnoramenný. Nájdite zvyšné strany trojuholníka ABC.
Riešenie
Znázornime podmienky problému vo forme výkresu.
AC = AD + DC = 9 cm. AD dlhšie DC dvakrát, tj AD = 2DC.
V dôsledku toho sa 2DC + DC = 3DC u9d XNUMX cm. takže, DC = 3 cm, AD = 6 cm.
Pretože trojuholník ABD – rovnoramenný a bočný AD je 6 cm, takže sú rovnaké AB и BDIe AB = 5 cm.
Zostáva len nájsť BCodvodením vzorca zo Stewartovej vety:
Známe hodnoty dosadíme do tohto výrazu:
Týmto spôsobom, BC = √52 ≈ 7,21 cm.