Aká je limita funkcie

V tejto publikácii sa budeme zaoberať jedným z hlavných konceptov matematickej analýzy – limitou funkcie: jej definíciou, ako aj rôznymi riešeniami s praktickými príkladmi.

Určenie limity funkcie

Funkčný limit – hodnota, ku ktorej smeruje hodnota tejto funkcie, keď jej argument smeruje k hraničnému bodu.

Limitný záznam:

• limit je označený ikonou lim;
• pod ním sa pridáva, k akej hodnote argument (premenná) funkcie inklinuje. Zvyčajne toto x, ale nie nevyhnutne, napríklad:x→1″;
• potom sa napravo pridá samotná funkcia, napríklad:

  

Výsledný záznam limitu teda vyzerá takto (v našom prípade):

Číta sa ako „limita funkcie, pretože x má tendenciu k jednote“.

x→ 1 – to znamená, že „x“ neustále nadobúda hodnoty, ktoré sa nekonečne približujú k jednote, ale nikdy sa s ňou nezhodujú (nedosiahnu).

Rozhodovacie limity

S daným číslom

Vyriešme vyššie uvedenú hranicu. Ak to chcete urobiť, jednoducho nahraďte jednotku vo funkcii (pretože x→1):

Aby sme teda limitu vyriešili, najprv sa pokúsime jednoducho dosadiť dané číslo do funkcie pod ním (ak x smeruje ku konkrétnemu číslu).

S nekonečnosťou

V tomto prípade argument funkcie rastie nekonečne, tj. "X" má tendenciu k nekonečnu (∞). Napríklad:

If x→∞, potom má daná funkcia tendenciu k mínus nekonečnu (-∞), pretože:

• 3 - 1 = 2
• 3 – 10 = -7
• 3 – 100 = -97
• 3 – 1000 997 – XNUMX atď.

Ďalší komplexnejší príklad

Na vyriešenie tohto limitu tiež jednoducho zvýšte hodnoty x a pozrite sa na „správanie“ funkcie v tomto prípade.

• RџSЂRo x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• RџSЂRo x = 10, y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• RџSЂRo x = 100, y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

Preto pre "X"sklon k nekonečnu, funkcia x² +3x –6 rastie donekonečna.

S neistotou (x má tendenciu k nekonečnu)

V tomto prípade hovoríme o limitách, keď funkciou je zlomok, ktorého čitateľom a menovateľom sú polynómy. V čom "X" inklinuje k nekonečnu.

Príklad: vypočítajme si hranicu nižšie.

Riešenie

Výrazy v čitateli aj v menovateli majú tendenciu k nekonečnu. Dá sa predpokladať, že v tomto prípade bude riešenie nasledovné:

Nie všetko je však také jednoduché. Na vyriešenie limitu musíme urobiť nasledovné:

1. Nájdite x na najvyššiu mocninu pre čitateľa (v našom prípade sú to dva).

2. Podobne definujeme x na najvyššiu mocninu menovateľa (rovná sa aj dvom).

3. Teraz vydelíme čitateľa aj menovateľa x v seniorskom stupni. V našom prípade v oboch prípadoch – v druhom, ale ak by boli odlišné, mali by sme brať najvyšší stupeň.

4. Vo výslednom výsledku majú všetky zlomky tendenciu k nule, preto je odpoveď 1/2.

S neistotou (x má tendenciu ku konkrétnemu číslu)

Čitateľ aj menovateľ sú však polynómy, "X" smeruje k určitému číslu, nie k nekonečnu.

V tomto prípade podmienečne zatvárame oči pred skutočnosťou, že menovateľ je nula.

Príklad: Nižšie nájdeme limit funkcie.

Riešenie

1. Najprv dosaďte číslo 1 do funkcie, do ktorej "X". Dostávame neistotu formy, ktorú zvažujeme.

2. Ďalej rozložíme čitateľa a menovateľa na faktory. Na to môžete použiť skrátené vzorce násobenia, ak sú vhodné, príp.

V našom prípade korene výrazu v čitateli (2x² – 5x + 3 = 0) sú čísla 1 a 1,5. Preto môže byť reprezentovaný ako: 2 (x-1) (x-1,5).

Menovateľ (x–1) je spočiatku jednoduchý.

3. Dostaneme takto upravený limit:

4. Zlomok možno znížiť o (x–1):

5. Zostáva len nahradiť číslo 1 vo výraze získanom pod limitom: