V tejto publikácii sa budeme zaoberať jednou z klasických teorém afinnej geometrie – Cevovou vetou, ktorá dostala takýto názov na počesť talianskeho inžiniera Giovanniho Cevu. Budeme tiež analyzovať príklad riešenia problému s cieľom konsolidovať prezentovaný materiál.
Vyhlásenie vety
Daný trojuholník ABC, v ktorej je každý vrchol spojený s bodom na opačnej strane.
Dostaneme teda tri segmenty (AA', BB' и CC'), ktoré sa nazývajú cevianov.
Tieto segmenty sa pretínajú v jednom bode vtedy a len vtedy, ak platí nasledujúca rovnosť:
|AND'| |NIE'| |CB'| = |BC'| |SHIFT'| |AB'|
Veta môže byť prezentovaná aj v tejto forme (určuje sa, v akom pomere body delia strany):
Cevova trigonometrická veta
Poznámka: všetky rohy sú orientované.
Príklad problému
Daný trojuholník ABC s bodkami TO', B ' и VS ' na bokoch BC, AC и AB, resp. Vrcholy trojuholníka sú spojené s danými bodmi a vytvorené úsečky prechádzajú jedným bodom. Zároveň aj body TO' и B ' urobené v stredoch zodpovedajúcich protiľahlých strán. Zistite, v akom pomere je bod VS ' rozdeľuje stranu AB.
Riešenie
Nakreslíme výkres podľa podmienok úlohy. Pre naše pohodlie používame nasledujúcu notáciu:
- AB' = B'C = a
- BA' = A'C = b
Zostáva len zostaviť pomer segmentov podľa Ceva vety a nahradiť doň akceptovaný zápis:
Po zmenšení zlomkov dostaneme:
Z toho dôvodu, AC' = C'B, teda bod VS ' rozdeľuje stranu AB na polovicu.
Preto v našom trojuholníku sú segmenty AA', BB' и CC' sú mediány. Po vyriešení úlohy sme dokázali, že sa pretínajú v jednom bode (platí pre akýkoľvek trojuholník).
Poznámka: pomocou Cevovej vety sa dá dokázať, že v trojuholníku sa v jednom bode pretínajú aj osi alebo výšky.