Extrahovanie odmocniny komplexného čísla

V tejto publikácii sa pozrieme na to, ako môžete odmocniť komplexné číslo a ako to môže pomôcť pri riešení kvadratických rovníc, ktorých diskriminant je menší ako nula.

Extrahovanie odmocniny komplexného čísla

Odmocnina

Ako vieme, je nemožné brať odmocniny zo záporného reálneho čísla. Ale pokiaľ ide o komplexné čísla, túto akciu je možné vykonať. Poďme na to.

Povedzme, že máme číslo z = -9. Forum √-9 existujú dva korene:

z₁ = √-9 = -3i

z₁ = √-9 = 3i

Overme si získané výsledky riešením rovnice z² = -9, nezabudni na to i² = -1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3i)² = 3² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

Tak sme to dokázali -3i и 3i sú korene √-9.

Koreň záporného čísla sa zvyčajne píše takto:

√-1 = ±i

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√-16 = ±4i a tak ďalej

Odmocnina n

Predpokladajme, že sú nám dané rovnice tvaru z = ⁿ√w… Má n korene (z₀, O₁, O₂,…, z_n-1), ktorý možno vypočítať pomocou nižšie uvedeného vzorca:

|w| je modul komplexného čísla w;

φ – jeho argument

k je parameter, ktorý nadobúda hodnoty: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

Kvadratické rovnice s komplexnými koreňmi

Extrahovanie odmocniny záporného čísla mení obvyklú predstavu uXNUMXbuXNUMXb. Ak je diskriminačný (D) je menšia ako nula, potom nemôžu existovať skutočné korene, ale môžu byť reprezentované ako komplexné čísla.

Príklad

Poďme vyriešiť rovnicu x² – 8x + 20 = 0.

Riešenie

a = 1, b = -8, c = 20

D = b² – 4ac = 64 – 80 = -16

D < 0, ale stále môžeme vziať koreň negatívneho diskriminantu:

√D = √-16 = ±4i

Teraz môžeme vypočítať korene:

x_1,2 = (-b ± √D)/2a = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

Preto rovnica x² – 8x + 20 = 0 má dva komplexné konjugované korene:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 – 2i