Zvýšenie komplexného čísla na prirodzenú mocnosť

V tejto publikácii zvážime, ako možno komplexné číslo umocniť (vrátane použitia De Moivreho vzorca). Teoretický materiál je doplnený príkladmi pre lepšie pochopenie.

Zvýšenie komplexného čísla na mocninu

Najprv si pamätajte, že komplexné číslo má všeobecný tvar: z = a + bi (algebraická forma).

Teraz môžeme pristúpiť priamo k riešeniu problému.

Štvorcové číslo

Môžeme reprezentovať stupeň ako produkt rovnakých faktorov a potom nájsť ich produkt (pričom si to pamätáme i² = -1).

z² = (a + bi)² = (a + bi) (a + bi)

Príklad 1:

z = 3 + 5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

Môžete tiež použiť, konkrétne druhú mocninu súčtu:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – b²

Poznámka: Rovnakým spôsobom možno v prípade potreby získať vzorce pre druhú mocninu rozdielu, kocku súčtu / rozdielu atď.

N-tý stupeň

Zvýšte komplexné číslo z v naturáliách n oveľa jednoduchšie, ak je znázornené v trigonometrickej forme.

Pripomeňme, že vo všeobecnosti zápis čísla vyzerá takto: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

Na umocnenie môžete použiť De Moivreov vzorec (takto pomenované po anglickom matematikovi Abrahamovi de Moivre):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ))

Vzorec sa získa zápisom v trigonometrickej forme (moduly sa vynásobia a argumenty sa sčítajú).

Príklad 2

Zvýšte komplexné číslo z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) do ôsmeho stupňa.

Riešenie

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).