V tejto publikácii zvážime, čo je Gaussova metóda, prečo je potrebná a aký je jej princíp. Na praktickom príklade si tiež ukážeme, ako možno metódu aplikovať na riešenie sústavy lineárnych rovníc.
Popis Gaussovej metódy
Gaussova metóda je klasická metóda postupnej eliminácie premenných používaná na riešenie . Je pomenovaná po nemeckom matematikovi Carlovi Friedrichovi Gaussovi (1777-1885).
Najprv si však pripomeňme, že SLAU môže:
- mať jedno riešenie;
- mať nekonečný počet riešení;
- byť nezlučiteľné, tj nemajú žiadne riešenia.
Praktické výhody
Gaussova metóda je skvelý spôsob, ako vyriešiť SLAE, ktorý obsahuje viac ako tri lineárne rovnice, ako aj systémy, ktoré nie sú štvorcové.
Princíp Gaussovej metódy
Metóda zahŕňa nasledujúce kroky:
- rovno – rozšírená matica zodpovedajúca sústave rovníc je mimo riadkov redukovaná na horný trojuholníkový (stupňovitý) tvar, tj pod hlavnou uhlopriečkou by mali byť len prvky rovné nule.
- späť – vo výslednej matici sú aj prvky nad hlavnou uhlopriečkou nastavené na nulu (dolný trojuholníkový pohľad).
Príklad riešenia SLAE
Vyriešme sústavu lineárnych rovníc nižšie pomocou Gaussovej metódy.
Riešenie
1. Na začiatok uvádzame SLAE vo forme rozšírenej matice.
2. Teraz je našou úlohou vynulovať všetky prvky pod hlavnou uhlopriečkou. Ďalšie akcie závisia od konkrétnej matice, nižšie popíšeme tie, ktoré sa vzťahujú na náš prípad. Najprv vymeníme riadky, čím umiestnime ich prvé prvky vo vzostupnom poradí.
3. Odčítajte od druhého riadku dvakrát prvý a od tretieho - strojnásobte prvý.
4. Pridajte druhý riadok k tretiemu riadku.
5. Odčítajte druhý riadok od prvého riadku a súčasne vydeľte tretí riadok -10.
6. Prvá etapa je dokončená. Teraz musíme dostať nulové prvky nad hlavnú uhlopriečku. Ak to chcete urobiť, odpočítajte tretí vynásobený 7 od prvého riadku a pridajte tretí vynásobený 5 k druhému.
7. Výsledná rozšírená matica vyzerá takto:
8. Zodpovedá sústave rovníc:
Odpoveď: koreňový SLAU: x = 2, y = 3, z = 1.