Lineárne závislé a nezávislé riadky: definícia, príklady

V tejto publikácii sa budeme zaoberať tým, čo je lineárna kombinácia strún, lineárne závislé a nezávislé struny. Pre lepšie pochopenie teoretického materiálu uvedieme aj príklady.

Definovanie lineárnej kombinácie reťazcov

Lineárna kombinácia (LK) termín s₁s₂, …, s_n matice A nazývaný výraz v nasledujúcom tvare:

aS₁ + αs₂ + … + αs_n

Ak všetky koeficienty α_i sa rovnajú nule, takže LC je triviálne. Inými slovami, triviálna lineárna kombinácia sa rovná nulovému riadku.

Napríklad: 0 · s₁ + 0 · s₂ + 0 · s₃

V súlade s tým, ak je aspoň jeden z koeficientov α_i sa nerovná nule, potom je LC netriviálne.

Napríklad: 0 · s₁ + 2 · s₂ + 0 · s₃

Lineárne závislé a nezávislé riadky

Strunový systém je lineárne závislé (LZ), ak existuje ich netriviálna lineárna kombinácia, ktorá sa rovná nulovej čiare.

Z toho vyplýva, že netriviálny LC sa môže v niektorých prípadoch rovnať nulovému reťazcu.

Strunový systém je lineárne nezávislé (LNZ), ak sa iba triviálny LC rovná nulovému reťazcu.

Poznámky:

• V štvorcovej matici je systém riadkov LZ iba vtedy, ak je determinant tejto matice nula (the,en = 0).
• V štvorcovej matici je systém riadkov LIS iba vtedy, ak sa determinant tejto matice nerovná nule (the,en ≠ 0).

Príklad problému

Poďme zistiť, či je systém strún {s₁ = {3 4};s₂ = {9 12}} lineárne závislé.

Rozhodnutie:

1. Najprv si urobme LC.

α₁{3 4} + a₂{9 12}.

2. Teraz poďme zistiť, aké hodnoty by mali mať α₁ и α₂takže lineárna kombinácia sa rovná nulovému reťazcu.

α₁{3 4} + a₂{9 12} = {0 0}.

3. Zostavme sústavu rovníc:

4. Vydeľte prvú rovnicu tromi, druhú štyrmi:

5. Riešenie tohto systému je ľubovoľné α₁ и α₂, S α₁ = -3a₂.

Napríklad, ak α₂ = 2potom α₁ = -6. Tieto hodnoty dosadíme do vyššie uvedeného systému rovníc a získame:

Odpoveď: takže linky s₁ и s₂ lineárne závislé.