Výškové vlastnosti pravouhlého trojuholníka

V tejto publikácii zvážime hlavné vlastnosti výšky v pravouhlom trojuholníku a tiež analyzujeme príklady riešenia problémov na túto tému.

Poznámka: trojuholník sa nazýva obdĺžnikový, ak je jeden z jeho uhlov pravý (rovná sa 90°) a ostatné dva sú ostré (<90°).

Výškové vlastnosti v pravouhlom trojuholníku

Nehnuteľnosť 1

Pravý trojuholník má dve výšky (h₁ и h₂) sa zhodujú s nohami.

tretia výška (h₃) klesá do prepony z pravého uhla.

Nehnuteľnosť 2

Ortocentrum (priesečník výšok) pravouhlého trojuholníka je vo vrchole pravého uhla.

Nehnuteľnosť 3

Výška v pravouhlom trojuholníku nakreslenom k ​​prepone ju rozdeľuje na dva podobné pravouhlé trojuholníky, ktoré sú tiež podobné pôvodnému.

1. △ABD ~ △ABC v dvoch rovnakých uhloch: ∠ADB = ∠LAC (priame čiary), ∠ABD = ∠ABC.

2. △pobočník ~ △ABC v dvoch rovnakých uhloch: ∠pobočník = ∠LAC (priame čiary), ∠ACD = ∠ACB.

3. △ABD ~ △pobočník v dvoch rovnakých uhloch: ∠ABD = ∠DAC, ∠BAD = ∠ACD.

Dôkaz: ∠BAD = 90° – ∠ABD (ABC). Zároveň ∠ACD (ACB) = 90° – ∠ABC.

Preto ∠BAD = ∠ACD.

Podobným spôsobom sa dá dokázať, že ∠ABD = ∠DAC.

Nehnuteľnosť 4

V pravouhlom trojuholníku sa výška prepony vypočíta takto:

1. Cez segmenty na prepone, vytvorený v dôsledku jeho delenia základňou výšky:

2. Cez dĺžky strán trojuholníka:

Tento vzorec je odvodený z Vlastnosti sínusu ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku (sínus uhla sa rovná pomeru protiľahlej vetvy k prepone):

Poznámka: na pravouhlý trojuholník platia aj všeobecné výškové vlastnosti uvedené v našej publikácii.

Príklad problému

Úloha 1

Prepona pravouhlého trojuholníka je rozdelená výškou, ktorá je k nej nakreslená, na segmenty 5 a 13 cm. Nájdite dĺžku tejto výšky.

Riešenie

Použime prvý vzorec uvedený v Nehnuteľnosť 4:

Úloha 2

Nohy pravouhlého trojuholníka sú 9 a 12 cm. Nájdite dĺžku nadmorskej výšky nakreslenej k prepone.

Riešenie

Najprv nájdime dĺžku prepony pozdĺž (nech sú nohy trojuholníka "do" и „B“, a prepona je "vs"):

c² =A² + b² = 9² + 12² = 225.

V dôsledku toho sa с = 15 cm.

Teraz môžeme použiť druhý vzorec z Vlastnosti 4diskutované vyššie: