Krížový súčin vektorov

V tejto publikácii zvážime, ako nájsť krížový súčin dvoch vektorov, poskytnúť geometrickú interpretáciu, algebraický vzorec a vlastnosti tejto akcie a tiež analyzovať príklad riešenia problému.

Geometrická interpretácia

Vektorový súčin dvoch nenulových vektorov a и b je vektor c, ktorý sa označuje ako [a, b] or a x b.

Dĺžka vektora c sa rovná ploche rovnobežníka skonštruovaného pomocou vektorov a и b.

V tomto prípade, c kolmé na rovinu, v ktorej sa nachádzajú a и b, a je umiestnený tak, že najmenej rotácia od a к b bola vykonaná proti smeru hodinových ručičiek (z pohľadu konca vektora).

Krížový produktový vzorec

Súčin vektorov a = {a_x; na_y,_z} i b = {b_x; b_y, b_z} sa vypočíta pomocou jedného zo vzorcov nižšie:

Vlastnosti krížových produktov

1. Krížový súčin dvoch nenulových vektorov sa rovná nule práve vtedy, ak sú tieto vektory kolineárne.

[a, b🇧🇷 0, Ak a || b.

2. Modul krížového súčinu dvoch vektorov sa rovná ploche rovnobežníka tvoreného týmito vektormi.

S_paralelný = |a x b|

3. Plocha trojuholníka tvoreného dvoma vektormi sa rovná polovici ich vektorového súčinu.

S_Δ = ¹/₂ · |a x b|

4. Vektor, ktorý je krížovým súčinom dvoch ďalších vektorov, je na ne kolmý.

c ⟂ a, c ⟂ b.

5. a x b = -b x a

6. (m a) X a = a x (m b) = m (a x b)

7. (a + b) X c = a x c + b x c

Príklad problému

Vypočítajte krížový súčin a = {2; 4; 5} и b = {9; -dva; 3}.

Rozhodnutie:

Odpoveď: a x b = {19; 43; -42}.