Fermatova malá veta

V tejto publikácii sa budeme zaoberať jednou z hlavných teorémov teórie celých čísel –  Fermatova malá vetapomenované podľa francúzskeho matematika Pierra de Fermata. Budeme tiež analyzovať príklad riešenia problému na konsolidáciu prezentovaného materiálu.

Vyhlásenie vety

1. Počiatočné

If p je prvočíslo a je celé číslo, ktoré nie je deliteľné číslom ppotom a^p-1 - 1 delené p.

Formálne sa to píše takto: a^p-1 1 XNUMX (proti p).

Poznámka: Prvočíslo je prirodzené číslo, ktoré je bezo zvyšku deliteľné iba XNUMX a sebou samým.

Napríklad:

• a = 2
• p = 5
• a^p-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• číslo 15 delené 5 bezo zvyšku.

2. Alternatíva

If p je prvočíslo, a potom akékoľvek celé číslo a^p porovnateľné s a modul p.

a^p ≡ a (proti p)

História nájdenia dôkazov

Pierre de Fermat formuloval vetu v roku 1640, ale sám ju nedokázal. Neskôr to urobil Gottfried Wilhelm Leibniz, nemecký filozof, logik, matematik atď. Predpokladá sa, že dôkaz mal už v roku 1683, hoci nebol nikdy publikovaný. Je pozoruhodné, že Leibniz objavil vetu sám, nevedel, že už bola formulovaná skôr.

Prvý dôkaz vety bol publikovaný v roku 1736 a patrí Švajčiarovi, Nemcovi a matematikovi a mechanikovi Leonhardovi Eulerovi. Fermatova malá veta je špeciálnym prípadom Eulerovej vety.

Príklad problému

Nájdite zvyšok čísla 2¹² on 12.

Riešenie

Predstavme si číslo 2¹² as 2 - 2¹¹.

11 je prvočíslo, preto Fermatovou malou vetou dostaneme:

2¹¹ 2 XNUMX (proti 11).

Z toho dôvodu, 2 - 2¹¹ 4 XNUMX (proti 11).

Takže číslo 2¹² delené 12 so zvyškom rovným 4.