V tejto publikácii sa budeme zaoberať definíciou, klasifikáciou a vlastnosťami jedného z hlavných geometrických tvarov – trojuholníka. Budeme tiež analyzovať príklady riešenia problémov na konsolidáciu prezentovaného materiálu.
Definícia trojuholníka
Trojuholník – Ide o geometrický útvar v rovine pozostávajúci z troch strán, ktoré sú tvorené spojením troch bodov, ktoré neležia na jednej priamke. Na označenie sa používa špeciálny symbol – △.
- Body A, B a C sú vrcholy trojuholníka.
- Segmenty AB, BC a AC sú strany trojuholníka, ktoré sa často označujú ako jedno latinské písmeno. Napríklad AB= a, BC = b, A = c.
- Vnútro trojuholníka je časť roviny ohraničená stranami trojuholníka.
Vrcholové strany trojuholníka tvoria tri uhly, tradične označované gréckymi písmenami – α, β, γ atď. Z tohto dôvodu sa trojuholník nazýva aj mnohouholník s tromi rohmi.
Uhly môžu byť označené aj špeciálnym znakom „∠"
- α – ∠BAC alebo ∠CAB
- β – ∠ABC alebo ∠CBA
- γ – ∠ACB alebo ∠BCA
Klasifikácia trojuholníka
V závislosti od veľkosti uhlov alebo počtu rovnakých strán sa rozlišujú tieto typy obrázkov:
1. ostrý uhlový – trojuholník so všetkými tromi ostrými uhlami, teda menšími ako 90°.
2. tupý Trojuholník, v ktorom je jeden z uhlov väčší ako 90°. Ďalšie dva uhly sú ostré.
3. obdĺžnikový – trojuholník, v ktorom je jeden z uhlov pravý, teda rovný 90°. Na takomto obrázku sa dve strany, ktoré tvoria pravý uhol, nazývajú nohy (AB a AC). Tretia strana oproti pravému uhlu je prepona (BC).
4. Univerzálny Trojuholník, v ktorom majú všetky strany rôzne dĺžky.
5. Rovnoramenné – trojuholník s dvoma rovnakými stranami, ktoré sa nazývajú bočné (AB a BC). Tretia strana je základňa (AC). Na tomto obrázku sú základné uhly rovnaké (∠BAC = ∠BCA).
6. Rovnostranné (alebo správne) Trojuholník, v ktorom sú všetky strany rovnako dlhé. Všetky jeho uhly sú tiež 60°.
Vlastnosti trojuholníka
1. Ktorákoľvek zo strán trojuholníka je menšia ako ostatné dve, ale väčšia ako ich rozdiel. Pre pohodlie akceptujeme štandardné označenia strán – a, b и с… Potom:
b – c < a < b + cAt b > c
Táto vlastnosť sa používa na testovanie segmentov čiar, aby sa zistilo, či môžu vytvoriť trojuholník.
2. Súčet uhlov ľubovoľného trojuholníka je 180°. Z tejto vlastnosti vyplýva, že v tupom trojuholníku sú dva uhly vždy ostré.
3. V každom trojuholníku je väčší uhol oproti väčšej strane a naopak.
Príklady úloh
Úloha 1
V trojuholníku sú známe dva uhly, 32° a 56°. Nájdite hodnotu tretieho uhla.
Riešenie
Zoberme si známe uhly ako α (32°) a β (56°) a neznáme – vzadu γ.
Podľa vlastnosti o súčte všetkých uhlov, a+b+c = 180 °C.
V dôsledku toho sa γ = 180 ° – a – b = 180 ° – 32 ° – 56 ° = 92 °.
Úloha 2
Dané tri úsečky dĺžky 4, 8 a 11. Zistite, či môžu vytvoriť trojuholník.
Riešenie
Zostavme nerovnosti pre každý z daných segmentov na základe vlastnosti diskutovanej vyššie:
11 – 4 <8 <11 + 4
8 – 4 <11 <8 + 4
11 – 8 <4 <11 + 8
Všetky sú správne, preto tieto segmenty môžu byť stranami trojuholníka.