Nájdenie inverznej matice

V tejto publikácii zvážime, čo je inverzná matica, a na praktickom príklade tiež analyzujeme, ako ju možno nájsť pomocou špeciálneho vzorca a algoritmu pre sekvenčné akcie.

Definícia inverznej matice

Najprv si pripomeňme, čo sú to recipročné hodnoty v matematike. Povedzme, že máme číslo 7. Potom jeho inverzná hodnota bude 7^-1 or ¹/₇. Ak tieto čísla vynásobíte, výsledkom bude jedna, teda 7 7^-1 = 1.

Takmer to isté s matrikami. Zvrátiť taká matica sa nazýva, vynásobením ktorej pôvodnou dostaneme identitu. Je označená ako A^-1.

A · A^-1 =E

Algoritmus na nájdenie inverznej matice

Ak chcete nájsť inverznú maticu, musíte byť schopní vypočítať matice a tiež mať zručnosti na vykonávanie určitých akcií s nimi.

Okamžite treba poznamenať, že inverziu možno nájsť iba pre štvorcovú maticu, a to pomocou nižšie uvedeného vzorca:

|A| – maticový determinant;

A^T_M je transponovaná matica algebraických sčítaní.

Poznámka: ak je determinant nula, potom inverzná matica neexistuje.

Príklad

Poďme nájsť pre maticu A nižšie je jeho opak.

Riešenie

1. Najprv nájdime determinant danej matice.

2. Teraz urobme maticu, ktorá má rovnaké rozmery ako pôvodná:

Musíme zistiť, ktoré čísla by mali nahradiť hviezdičky. Začnime ľavým horným prvkom matice. Maloletá k nemu sa zistí preškrtnutím riadku a stĺpca, v ktorom sa nachádza, teda v oboch prípadoch na čísle jeden.

Číslo, ktoré zostane po prečiarknutí, je požadované vedľajšie, tzn M₁₁ = 8.

Podobne nájdeme neplnoleté pre zvyšné prvky matice a získame nasledujúci výsledok.

3. Definujeme maticu algebraických sčítaní. Ako ich vypočítať pre každý prvok, sme zvážili samostatne.

Napríklad pre prvok a₁₁ algebraické sčítanie sa uvažuje takto:

A₁₁ = (-1)^{1 + 1} M₁₁ = 1 · 8 = 8

4. Vykonajte transpozíciu výslednej matice algebraických sčítaní (tj vymeňte stĺpce a riadky).

5. Zostáva len použiť vzorec uvedený vyššie na nájdenie inverznej matice.

Odpoveď môžeme ponechať v tejto forme bez delenia prvkov matice číslom 11, pretože v tomto prípade dostaneme škaredé zlomkové čísla.

Kontrola výsledku

Aby sme sa uistili, že sme dostali inverznú maticu pôvodnej matice, môžeme nájsť ich súčin, ktorý by sa mal rovnať matici identity.

V dôsledku toho sme získali maticu identity, čo znamená, že sme urobili všetko správne.