Systém lineárnych algebraických rovníc

V tejto publikácii sa budeme zaoberať definíciou systému lineárnych algebraických rovníc (SLAE), ako vyzerá, aké existujú typy a tiež ako ho prezentovať v maticovej forme vrátane rozšírenej.

Definícia sústavy lineárnych rovníc

Systém lineárnych algebraických rovníc (alebo skrátene „SLAU“) je systém, ktorý vo všeobecnosti vyzerá takto:

• m je počet rovníc;
• n je počet premenných.
• x₁, X₂,…, X_n – neznámy;
• a₁₁,₁₂…, a_mn – koeficienty pre neznáme;
• b₁, b₂,…, nar_m – slobodní členovia.

Koeficientové indexy (a_ij) sa tvoria takto:

• i je číslo lineárnej rovnice;
• j je číslo premennej, na ktorú sa koeficient vzťahuje.

riešenie SLAU - takéto čísla c₁, C₂,…, c_n , v ktorých nastavení namiesto x₁, X₂,…, X_n, všetky rovnice systému sa zmenia na identity.

Typy SLAU

1. homogénna – všetci voľní členovia systému sa rovnajú nule (b₁ =b₂ = … = b_m = 0).

   

2. Heterogénne – ak nie je splnená vyššie uvedená podmienka.
3. Námestie – počet rovníc sa rovná počtu neznámych, tzn m = n.

   

4. Nedostatočne určený – počet neznámych je väčší ako počet rovníc.

   

5. prepísané Existuje viac rovníc ako premenných.

   

V závislosti od počtu riešení môže byť SLAE:

1. Kĺb má aspoň jedno riešenie. Navyše, ak je jedinečný, systém sa nazýva určitý, ak existuje niekoľko riešení, nazýva sa neurčitý.

   

   Vyššie uvedený SLAE je spoločný, pretože existuje aspoň jedno riešenie: x = 2, y = 3.

2. nezlučiteľný Systém nemá riešenia.

   

   Pravé strany rovníc sú rovnaké, ale ľavé nie. Neexistujú teda žiadne riešenia.

Maticový zápis sústavy

SLAE môže byť reprezentovaný v maticovej forme:

AX = B

• A je matica tvorená koeficientmi neznámych:

  

• X – stĺpec premenných:

  

• B – stĺpec voľných členov:

  

Príklad

Nižšie uvedený systém rovníc reprezentujeme vo forme matice:

Pomocou formulárov vyššie poskladáme hlavnú maticu s koeficientmi, stĺpce s neznámymi a voľnými členmi.

Kompletný záznam daného systému rovníc v maticovom tvare:

Rozšírená matica SLAE

Ak do matice systému A pridajte stĺpec voľných členov vpravo B, oddelením údajov zvislou čiarou získate rozšírenú maticu SLAE.

Vo vyššie uvedenom príklade to vyzerá takto:

– označenie rozšírenej matice.